De debò es veu Mallorca des de Barcelona? La geometria exacta d'una visual de 190 km

Foto: Doc Searls, CC BY 2.0, via Wikimedia Commons.

En certes matinades fredes de novembre, hi ha gent als turons de Barcelona que fotografia una silueta blava i dentada surant sobre l'horitzó marí al sud-sud-est, a contrallum del sol baix de l'alba. La silueta és la Serra de Tramuntana, l'espina dorsal de Mallorca, a uns 190 km. Cada vegada que una d'aquestes fotos circula comença la mateixa discussió a sota. Bona part de la ciutat simplement no s'ho creu. El fotògraf que millor ha documentat aquesta visual, Marc Bret, va escriure després d'un dels seus albiraments que "malgrat aquests albiraments, una gran quantitat de ciutadans de Barcelona segueix sense creure que Mallorca es pugui veure des de la seva ciutat".

Foto: candi… a Flickr, CC BY 2.0.

I en les millors matinades l'aparició no demana aclucar els ulls. El desembre del 2023 el meteoròleg de l'Observatori Fabra, Alfons Puertas, va capturar tota la Tramuntana retallada amb nitidesa contra l'alba, surant sobre els llums del port de Barcelona:

La incredulitat va rebre ajuda internacional unes setmanes abans d'aquell tuit, el novembre del 2023, quan Puertas va fotografiar Mallorca a l'alba des de la mateixa terrassa i la premsa va presentar la imatge com una que "desafia la ciència", amb l'argument que la curvatura terrestre hauria d'amagar l'illa del tot. L'única explicació oferta va ser un tuit assenyalant la "refracció atmosfèrica".

Ningú en aquella discussió no havia calculat el terreny. Nosaltres sí, a la resolució més alta a la qual la geometria se sosté: 19 escombrats complets de 40.001 visuals cadascun, amb cada raig recorregut d'extrem a extrem a passos de 10 metres sobre el model d'elevació Copernicus de 30 m, uns 19.000 milions de mostres de terreny només per a la finestra insular, més un escombrat de 144.000 raigs de tot l'horitzó de 360° de Barcelona.

La versió curta: els creients tenen raó, els escèptics tenen la física del revés, i l'illa resulta ser una presència molt més gran a l'horitzó de Barcelona del que suposen tots dos bàndols.

Des del Tibidabo, tota la serra supera l'horitzó

Comencem pel punt alt clàssic de la ciutat, el cim del Tibidabo a 512 m, des d'on Bret va fer les seves fotografies de 184–193 km el novembre del 2014. Amb refracció estàndard (el coeficient de manual per a aire ordinari, k = 0,13) i sense anomalia de cap mena, això és el que s'alça sobre l'horitzó marí:

Les alçades són les cotes publicades; els marges estan calculats sobre les cel·les cimeres del model d'elevació, que queden entre 5 i 40 m per sota, com li passa a una malla de 30 m en un pic afilat.

Onze cims, i només comptant els que tenen nom digne de llistar. Això no és un cas marginal d'un pic traient el cap a penes: el Puig Major s'alça tres quarts de quilòmetre sobre la línia, i fins i tot Galatzó, l'extrem sud-oest a 201 km, té 124 m d'aire a sota. Els dos pics que de debò no arriben, el Puig de ses Vinyes i el Puig de ses Bassetes, queden amagats per la mateixa muralla del davant de la Tramuntana, no per la curvatura de la Terra.

Foto: NASA, ISS064-E-406, domini públic, via Wikimedia Commons.

Puntuar cims amb nom és una cosa. L'escombrat de 40.001 raigs dibuixa la forma real:

L'illa ocupa 15,464° d'horitzó, del rumb 156,543° al 172,007°, però només 10,657° d'això és illa de debò. Els altres 4,8° són mar obert traient el cap pels forats. I arriba en vuit peces separades, la més gran una muralla contínua de 5,784° que va de Massanella al Puig Major.

Aquesta fragmentació és justament el que destrueix un escombrat gruixut. Mostrejat cada mig grau, el mateix terreny torna quatre fragments en lloc de vuit: el Tomir es fon amb la muralla principal i l'estructura del grup de Galatzó desapareix del tot. El recompte només s'estabilitza al voltant d'una dècima de grau, i tot el que és més fi només suavitza la línia. La descripció popular era correcta des del principi, i el text de Bret ho diu clar: les muntanyes apareixen "de forma discontínua, amb algunes muntanyes separades entre elles pel mar". El més gran d'aquests forats de mar, entre la carena d'Alfàbia i el grup de Son Serralta, fa 2,33° d'aigua oberta.

El mar no és l'obstacle. Ho és l'illa

Aquí ve el contraintuïtiu. Des del Tibidabo, la visual al Puig Major supera el mar obert amb centenars de metres de sobres. El que limita la vista és la mateixa Mallorca, i l'alçada que porta el raig de l'horitzó quan hi arriba.

El raig talla l'illa entre els 628 m i els 896 m, segons el rumb, amb una mediana de 695 m. Tot el que queda per sota, els ports, els pobles, gairebé tota la costa, roman enterrat rere la curvatura del mar, mentre les carenes de sobre queden lliures. Així que la imatge que arriba a Barcelona és una llesca horitzontal: la part superior d'una serra, surant sense base visible.

I el punt més baix d'aquell tall no és on l'espera l'ull, que serien els alts penya-segats marins sota el Puig Major. És a la costa nord, prop de Cala Sant Vicenç, a un quilòmetre de Punta de la Sal, a 628 m. No perquè aquella costa sigui més alta, sinó perquè és més a prop: 183,0 km en lloc de 188. Cinc quilòmetres de distància hi valen uns 70 m d'altitud, i per això el racó més proper de l'illa, no el més alt, és el que arriba més avall.

El nostre article sobre quant amaga l'horitzó desenvolupa aquesta aritmètica per a qualsevol distància.

Barcelona veu el 0,62% de Mallorca

Com que els raigs arriben separats 3,3 m en tocar l'illa, més fi que el mateix model del terreny, l'escombrat no dona només una silueta. Dona un mapa de cada metre quadrat de Mallorca que Barcelona pot veure.

22,4 km² de 3.596. Zero coma seixanta-dos per cent, i tot carena de serra.

Vista en relleu des del rumb de Barcelona, el patró és evident: el daurat és la muralla marítima de la Tramuntana i res més. La serra és la seva pròpia pantalla. Al darrere, l'illa cau cap a un pla que no ha estat mai visible des del continent i no ho serà mai.

I l'alçada tota sola tampoc no et compra un lloc en aquell mapa. Dels 163,5 km² de Mallorca que estan per sobre de la cota mínima visible des del Tibidabo, només el 13,7% es veu de debò; la resta és prou alt però queda darrere d'alguna cosa més propera.

Baixa 108 m fins a l'Observatori Fabra i l'àrea visible de l'illa es redueix a la meitat, a 11,2 km². Baixa fins a Montjuïc i s'esfondra a 1,7 km², una vintena part d'un u per cent: tres cims i res més.

Des de quina alçada mínima es veu?

El Tibidabo va sobrat. La pregunta interessant és el llindar, i les afirmacions populars són sorprenentment concretes. Bret va explicar que havia vist l'illa des de només 95 m d'alçada a Montjuïc, i va citar l'albirament d'un altre observador des de 52 m sota "refracció excepcional".

Així que vam buscar el llindar directament, bisecant l'alçada de l'observador al centímetre en cadascun de 4.001 rumbs des del passeig marítim de la Barceloneta. La resposta és 93,85 m. Però un sol número amaga el que passa de debò, que és que gairebé tot aquell tram d'horitzó queda fora d'abast des de qualsevol punt de la ciutat:

Tots els valors de refracció situen el mínim al mateix rumb, 163,55°, que és el cim del Puig Major i res més. Mou-te una vintena de grau a un costat o l'altre i l'exigència puja deu metres. Mou-te una cinquena part de grau i no serveix cap alçada. Que Barcelona pugui veure Mallorca a alçada mínima es redueix a una sola ranura estreta al cel.

Ara posem-hi les afirmacions populars al costat:

• L'albirament de 95 m funciona, amb 1,2 m de sobres. L'observació documentada més baixa de Mallorca des de Barcelona és gairebé exactament sobre el llindar geomètric calculat. Bret no exagerava la seva sort.
• L'afirmació dels 52 m necessita k = 0,218, al voltant d'un setanta per cent més de curvatura que l'aire estàndard. És una condició forta però totalment real, del tipus que produeixen les matinades fredes sobre un mar tebi. Qui ho va explicar en va dir refracció excepcional, i el número dona la raó a l'adjectiu.
• Un punt del vessant marí de Montjuïc a 86 m es queda a no res: k = 0,145 el revela, un pèl per sobre de l'estàndard. En aquell vessant, qualsevol matinada mínimament favorable, el cim hi és.
• Des de la platja mateixa no funciona de debò. Caldria k ≈ 0,37, que no és aire corbat sinó un conducte, un fenomen diferent i molt més rar.

Els miradors preferits de la ciutat s'ordenen sols al voltant d'aquests números, i el que es perd entre l'un i l'altre és brutal. Des dels Búnquers del Carmel, a 262 m la terrassa de postes de sol més estimada de Barcelona, el Puig Major s'alça 359 m sobre el raig de l'horitzó i Massanella 247 m, però la resta de la serra ha desaparegut.

Entre el Tibidabo i Montjuïc hi ha 330 metres d'altitud i uns vint minuts d'autobús, i són la diferència entre una serra de quinze graus i tres cims de roca. Aquesta és la palanca més potent que té qualsevol a Barcelona: no el temps, ni l'estació, ni l'objectiu. L'alçada.

Què val de debò l'aire corbat

La refracció s'invoca cada vegada que apareix una d'aquestes fotografies, gairebé sempre movent les mans. És mesurable. Vam tornar a llançar l'escombrat dens complet amb catorze valors diferents del coeficient de refracció, de l'aire sec desfavorable fins al conducte ple:

Passar de l'aire estàndard a un bon matí refractiu, de k = 0,13 a 0,20, eixampla l'illa de 10,66° a 12,98° d'horitzó i baixa el tall de 628 m a 533 m. Val si fa no fa el que valen 108 m d'alçada extra de l'observador: el Fabra amb k = 0,20 veu aproximadament el que veu el Tibidabo amb aire normal. Al passeig marítim de la Barceloneta el mateix canvi porta el llindar de 93,85 m a 59,82 m.

El que la refracció no fa, amb cap valor defensable, és ensenyar-te la costa.

La foto "impossible" del 2023, dividida en les seves dues parts

La fotografia de l'Observatori Fabra que "desafia la ciència" conté dos albiraments diferents, i mereixen veredictes separats.

El primer és la silueta de les muntanyes. Des del Fabra, a 415 m, el Puig Major s'alça 606 m sobre el raig de l'horitzó marí i Massanella 498 m, amb refracció estàndard. Sense anomalia, sense miratge, sense desafiar res. Un meteoròleg fotografiant els cims de Mallorca des d'aquella terrassa en una alba clara de novembre està fotografiant geometria ordinària i permanent que la majoria de la ciutat resulta que no coneix.

La segona meitat és la part que ningú no va comentar, i és més estranya que les muntanyes. La foto mostra llums al Port de Sóller, un port a nivell del mar. Un objectiu a nivell del mar a 186 km és un problema completament diferent d'un cim de 1.436 m, i la resposta òbvia seria que va caldre una refracció extraordinària. En va caldre una altra cosa: la superfície de l'aigua d'aquell port no es pot veure des de Barcelona amb cap refracció. La badia de Sóller està tancada pel seu propi cap. Corba l'aire fins a portar l'horitzó marí a 160 km i l'obstacle ja no és la curvatura de la Terra sinó una roca de 27 m a 270 m de l'objectiu. Puja el coeficient i la roca hi continua.

Foto: Joan Gené, CC0, via Wikimedia Commons.

Així que el que està il·luminat en aquella fotografia no és la superfície del port. És tot el que està per sobre d'uns 27 m: el poble als seus vessants, la carretera, les cases enfilant-se des de l'aigua. I el primer tros de riba mallorquina que pot arribar a Barcelona, amb k ≈ 0,80, no és Sóller. És el cap de Formentor, la punta nord-est de l'illa, a 186,7 km al rumb 149,9°.

"Desafia la ciència" era exactament fals, dues vegades. La part presentada com a impossible és rutina. La part que ningú no va comentar és més rara del que ningú no va dir, i és un fenomen diferent.

El més llunyà que veu Barcelona és Mallorca

També vam escombrar tot l'horitzó de la ciutat, els 360°, 144.000 raigs fins a 300 km, per veure on encaixa l'illa dins el quadre complet.

Barcelona té terra en cadascun dels 144.000 rumbs, perquè la ciutat és dins un bol de turons. Però només 23,97° del seu horitzó tenen terra més enllà de 120 km, i el 44% d'això és Mallorca. Més enllà de 175 km la proporció és del 100%: 10,65° d'horitzó, tot illa, i res més a la Terra a la vista.

La terra visible més llunyana en qualsevol direcció és el Puig Galatzó, a 201,5 km, al rumb 172°. Això supera qualsevol cim pirinenc que la ciutat pugui veure, inclosos el Canigó a 121,6 km i el massís de Peguera a 149,4 km. I el bloc continu de terra llunyana més ample de tot l'horitzó és la muralla del Puig Major amb 5,78°, més que qualsevol grup muntanyós continental.

Barcelona pensa en els Pirineus com la seva gran vista llunyana. La gran vista llunyana és mar endins.

I Mallorca pot veure Barcelona?

Estrictament sí, i ha de poder, perquè una visual és reversible. El motor coincideix amb ell mateix amb un terç de metre de diferència sobre 182 km: Barcelona necessita 93,85 m d'alçada d'ull per veure el Puig Major, i un edifici de Barcelona necessita 93,5 m perquè el vegin des del Puig Major. El mateix raig, llegit pels dos extrems.

El que no és simètric és el paisatge. Llegit des del cim, aquell raig compartit diu "tot el que a Barcelona estigui per sota de 93,5 m no existeix", cosa que esborra gairebé tota la ciutat: les platges, el port, l'Eixample. Només sobreviu la fina corona de turons. Des del Puig Major, el cim del Tibidabo supera per uns 14 m, i el castell de Montjuïc per 9 m.

Però Barcelona no és el que mira el Puig Major. Des d'aquell cim, 98,2° de l'horitzó tenen terra més enllà de 120 km, quatre vegades el que li toca al Tibidabo. Un bloc continu de 50,2° és la Catalunya continental a 220,7 km, coronada pel Turó de l'Home al Montseny. Uns altres 26,3° són les terres de l'Ebre a 236 km. Veu Menorca, Eivissa, Formentera. I la seva visual més llunyana recorre 333,0 km fins al Montsent de Pallars, de 2.883 m, al bell mig del Pirineu català, al rumb 334°, una línia que passa netament per damunt de Barcelona.

Així que l'illa no veu gaire de Barcelona. Veu una quantitat enorme de Catalunya. Vistos els rècords que hem analitzat, aquella línia pirinenca de 333 km és una entrada respectable en qualsevol col·lecció de visuals llargues.

Foto: NASA, ISS061-E-13409, domini públic, via Wikimedia Commons.

Quan mirar

La geometria munta l'escenari de manera permanent; els aerosols decideixen la funció. Sobre 190 km d'aire mediterrani, la calitja ordinària de l'estiu apaga el contrast molt abans que falli la geometria, i per això les dues fotografies que han marcat època en aquesta visual, la de Bret el 2014 i la de Puertas el 2023, es van fer a mitjans de novembre. Aire fred i sec darrere d'un front, sol baix de l'alba il·luminant a contrallum la silueta de la serra, i un mar tebi aportant una mica de refracció extra prop de la superfície: aquesta és la recepta, i es reuneix un grapat de matinades cada tardor i hivern.

Pel costat de la geometria la llista és curta. Posa't per sobre de 94 m. Mira entre 156,5° i 172°, i si ets a prop del llindar, exactament a 163,55°. Prefereix les matinades. Cada metre per sobre del llindar afegeix marge contra l'aire del dia, i cada metre d'alçada val més que el temps que faci.

Com s'han fet els números

Cada veredicte d'aquí és un perfil de terreny recorregut mostra a mostra, amb pas constant de 10 m des de l'observador fins als 245 km, sense engreixar el pas amb la distància. Aquesta densitat no és decorativa: amb un pas de 100 m, el que solen fer servir les eines de conca visual a llarga distància, el mateix raig pot passar per damunt de la carena que decideix la resposta, i els veredictes es mouen desenes de metres. Les posicions surten de geodèsiques WGS84 en lloc d'una aproximació esfèrica, cosa que importa més del que sembla: a 188 km, el mateix rumb sobre una esfera aterra a 280 m d'on aterra sobre l'el·lipsoide, prou per llegir la part equivocada d'una serra. Les elevacions s'interpolen del model Copernicus GLO-30 en lloc d'arrodonir-se a la cel·la més propera. La curvatura terrestre i la refracció entren com un radi efectiu R/(1−k), l'estàndard en topografia, avaluat amb el radi de curvatura local a l'azimut de cada raig.

Per als llindars vam bisecar, al centímetre en alçades i a quatre decimals en coeficients de refracció, a cada rumb. Per a la conca visual de l'illa vam aprofitar que amb un espaiat angular de 0,001° els raigs arriben separats 3,3 m, més fi que la malla de terreny de 30 m, de manera que la unió dels punts visibles és un mapa complet i no una interpolació.

Les elevacions vénen d'un model de superfície amb valors cimers reals: la seva cel·la del Puig Major marca 1.433 m davant dels 1.436 m topogràfics, el normal per a una malla de 30 m en un pic afilat. Totes les entrades són públiques i tot el procés és al nostre repositori, així que l'estudi és reproduïble.

Comprova el teu propi horitzó

Cada afirmació discutida del tipus "des d'aquí es veu" és un càlcul en lloc d'una discussió. Si la teva costa té la seva pròpia versió, una illa que apareix certes matinades, una muntanya que l'oncle d'algú jura haver vist una vegada, es pot comprovar:

• Llança una conca visual de 360° des del teu punt i mira tot el que el terreny et deixa veure, en totes direccions.
• Fes servir el mode punt a punt per posar a prova una afirmació concreta, amb curvatura, refracció i el terreny que bloqueja identificat.
• O explora 162 miradors famosos que ja hem calculat, entre ells el Tibidabo, Montjuïc i els Búnquers del Carmel.

Posa a prova aquella visual sobre la qual has discutit, gratis

Preguntes freqüents

De debò es veu Mallorca des de Barcelona?

Sí. Amb refracció atmosfèrica estàndard, almenys onze cims amb nom de la Serra de Tramuntana s'alcen sobre l'horitzó marí vistos des del cim del Tibidabo, a 512 m, encapçalats pel Puig Major amb 736 metres aparents sobre el raig de l'horitzó, a 188 km. No cal cap temps estrany. El que limita els albiraments a la pràctica és la calitja, i per això les fotografies documentades s'agrupen en matinades fredes i clares de tardor i hivern.

A quina alçada cal ser a Barcelona per veure Mallorca?

93,85 metres sobre el mar, amb refracció estàndard, bisecat al centímetre al passeig marítim. I ha de ser el rumb correcte: el mínim és en una ranura d'aproximadament una dècima de grau centrada a 163,55°, apuntada al cim del Puig Major. Una vintena de grau de desviació i calen uns 104 m. L'albirament documentat més baix, des de 95 m a Montjuïc, supera el llindar per 1,2 m. Des de 52 m l'illa només apareix amb refracció forta (k = 0,218), i des de la platja caldrien k ≈ 0,37, que és un conducte i no aire corbat normal.

Quant de Mallorca es veu realment des de Barcelona?

22,4 km² de 3.596, és a dir el 0,62% de l'illa, i tot carena de la Serra de Tramuntana. Palma, les platges i tota la meitat sud són permanentment per sota de l'horitzó. Fins i tot entre el terreny prou alt per complir, només se'n veu al voltant del 14%; la resta queda darrere d'una serra més propera.

Per què Mallorca sembla fragments surant solts en lloc d'una illa?

Perquè la curvatura terrestre amaga tot el que està per sota d'uns 630 a 900 m, segons el rumb, i el que sobresurt és una banda dentada. Des del Tibidabo l'illa arriba en vuit peces separades repartides per 15,46° d'horitzó, dels quals només 10,66° són illa i la resta és mar obert traient el cap pels forats. La peça més gran és una muralla de 5,78° que va de Massanella al Puig Major.

Era real la foto de Mallorca del 2023 des de l'Observatori Fabra?

Sí, i conté dos fenòmens diferents. La silueta de les muntanyes era geometria ordinària: des dels 415 m del Fabra, el Puig Major s'alça 606 m sobre el raig de l'horitzó marí amb refracció estàndard. Els llums prop del Port de Sóller són la part rara, i més rara del que vam dir primer: la superfície de l'aigua del port està tapada pel cap de la seva pròpia badia amb qualsevol coeficient de refracció, així que el que estava il·luminat ha de ser el poble als vessants de sobre, d'uns 27 m cap amunt. Els cims no desafiaven la ciència, i els llums del port desafiaven la geografia, no la física.

Es veu Barcelona des de Mallorca?

Sí, i força més de Catalunya que de Barcelona. Des del cim del Puig Major, el del Tibidabo supera per uns 14 m i el castell de Montjuïc per 9 m, però gairebé tota la ciutat queda per sota dels 93,5 m que exigeix el raig compartit. El que sí que veu el cim són 98,2° d'horitzó amb terra més enllà de 120 km, inclosos 50,2° continus de Catalunya continental a 220 km i una visual de 333 km fins al Montsent de Pallars, al Pirineu.

Què és el més llunyà que es veu des de Barcelona?

Mallorca. El Puig Galatzó, a 201,5 km al rumb 172°, és la terra visible més llunyana en qualsevol direcció des del Tibidabo, per davant de qualsevol cim pirinenc que la ciutat abasti. Més enllà de 175 km, Mallorca és l'única terra que hi ha a l'horitzó de Barcelona.

Com s'ha calculat això?

Recorrent cada visual amb pas constant de 10 m sobre el model d'elevació Copernicus GLO-30 de 30 m, amb la curvatura terrestre i la refracció atmosfèrica dins la geometria, sobre geodèsiques WGS84 i amb elevacions interpolades. La finestra insular es va escombrar amb 0,001° de rumb, 40.001 raigs per passada, un cop per cadascun de catorze coeficients de refracció i per cadascun de sis miradors de Barcelona. Els llindars es van trobar per bisecció a cada rumb, i tot l'horitzó de 360° es va escombrar a part amb 144.000 raigs. UpToWhere executa el mateix tipus de càlcul per a qualsevol parell de punts de la Terra.